UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI
HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT
Năm học 2013-2014
Môn: Toán
Ngày thi: 10 – 10 – 2013
---------------------------------

Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1
(3 điểm)
Đ/k:

Đặt
. Phương trình (1) trở thành:

1 điểm


Thế (3) vào (2) ta được:

Dễ thấy hàm số
đồng biến trên
. Do đó


1 điểm


Trước hết ta tìm nghiệm thuộc đoạn
của (5). Đặt
Phương trình (5) trở thành:


Mặt khác
nên

Vì (5) là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm
phương trình (5) có đúng 3 nghiệm trên. Từ đó suy ra hệ đã cho có 3 nghiệm:

1 điểm

Câu 2
(4 điểm)
*/ Nhận xét:

*/ Nếu dãy
có giới hạn hữu hạn là
thì
là nghiệm dương của phương trình:
. Từ đó tìm được
.
1 điểm


*/ Ta có

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng

Thật vậy, giả sử

. Ta có:

. Suy ra:

2 điểm


*/ Do vậy:
. Điều này mâu thuẫn với giả sử

1 điểm

Câu 3
(5 điểm)


Xét trường hợp như hình vẽ (AC>BC) , trường hợp khác chứng minh tương tự.
Dễ thấy B và D đối xứng nhau qua CI nên

IDC =
IBC =
IBA nên ABID là tứ giác nội tiếp.
Suy ra
DIB +
BAD =
. (1)
+) Ta chỉ ra BICE là tứ giác nội tiếp.
Ta có
BIC=

(
ABC+
ACB)/2, mà
BCE=
BAC nên

BEC=(


BCE)/2=(


BAC)/2, do đó
BIC+
BEC=
.
Mặt khác do A và E nằm khác phía BC nên I và E nằm khác phía BC nên tứ giác BICE nội tiếp, suy ra
BIE =
BCE =
BAC (2)
Từ (1), (2) ta có
DIB +
BIE =
, hay I, D, E thẳng hàng. (ĐPCM)
Cách khác: Dễ thấy D và B đối xứng nhau qua đường thẳng CI ; BA và BC đối xứng nhau qua BI nên ta có:
(DA, DI)=(DC, DI)=
(BC,BI)= (BA,BI) ( mod
)
Do đó ABID là tứ giác nội tiếp, suy ra (IB,ID)=(AB,AD)=(AB,AC) ( mod
).
Phần tứ giác BICE nội tiếp chứng minh tương tự (không phụ thuộc hình vẽ ) nên (IB,IE)=(CB,CE)=(AB,AC) ( mod
).
Do đó (IB,ID)=(IB,IE) ( mod
) hay là I, D, E thẳng hàng
đpcm.
2 điểm


Dễ thấy B, I, K thẳng hàng.
Do
ABC=2
BAC nên
KBC=
ABC/2 =
BAC=
BKC, suy ra CK=CB, do đó tứ giác DKEB nội tiếp đường tròn (C,CB).
1 điểm


Mặt khác theo chứng minh trên thì
IDC=
IBC=
BKC=
IKC nên tứ giác DKCI là tứ giác nội tiếp, chú ý BICE là tứ giác nội tiếp.
Do đó ba đường thẳng DK, CI, BE là ba trục đẳng phương của ba đường tròn ngoại tiếp các tứ giác DKCI, DKCB, BICE nên chúng đồng quy tại điểm M là tâm đẳng phương của ba đường tròn nói trên.
1 điểm


+ Ta chỉ ra M nằm trên đường tròn (O).
Thật vậy ta có: (MK,MB)=(DK,BE)=(DK,DE)+(DE,BE) ( mod
).
Mà (DK,DE)=(DK,DI)=(CK,CI) ( mod
),
và (DE,BE)=(EI,EB)=(CI,CB) ( mod
).
Do đó (MK,MB)=(CK,CI)+(CI,CB)=(CK,CB) ( mod
) hay M nằm trên đường tròn đi qua ba điểm B, C, K
M nằm trên đường tròn (O)

đpcm.
1 điểm

Câu 4
(3 điểm)
Số nguyên dương
có thể biểu diễn thành
,
lẻ.
Khi đó :

trong đó

1 điểm


Do
lẻ nên
chẵn
lẻ. Do đó

Mặt khác

NX:
và
không chia hết cho 4.
Mà

chứa đúng
thừa số

Vì vậy
.
1